Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲 ， 线段BP的长度记作y乙 ， y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．

（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒 cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2 ， 求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：2；E（ ， ）
（2）

解：∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，

∴ ，即 ，

解得：BF= t，

∴FD=BD﹣BF=8﹣ t，

又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，

∴y= （PQ+MC）FD= （t+10﹣2t）（8﹣ t）= t2﹣8t+40

（3）

解：存在；

∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40，

当S四边形PQCM= S△ABC时，y= t2﹣8t+40=20，

解得：t=10﹣5 ，或t=10+5 （不合题意，舍）；

即：t=10﹣5 时，S四边形PQCM= S△ABC

（4）

解：假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，

过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：

∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴ ，

又∵AD=6，

∴ ，

∴HM= t，AH= t，

∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t，

在Rt△HMP中，MP2=（ t）2+（10﹣ t）2= t2﹣44t+100，

又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，

∵MP2=MC2，

∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，

解得 t1= ，t2=0（舍去），

∴t= s时，点M在线段PC的垂直平分线上．

【解析】解：（1）由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，
∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10﹣t=2t，
解得：t= ，
∴当t= 时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E（ ， ）
所以答案是：2，E（ ， ）．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的应用，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．