Question

【题目】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据 ， 易证△AFG≌ ， 得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

Answer 1

【答案】
（1）SAS；△AFG
（2）∠B+∠D=180°
（3）

解：猜想：DE2=BD2+EC2，

证明：连接DE′，根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，

∴△AEC≌△ABE′，

∴BE′=EC，AE′=AE，

∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，

在Rt△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABC+∠ABE′=90°，

即∠E′BD=90°，

∴E′B2+BD2=E′D2，

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠E′AB+∠BAD=45°，

即∠E′AD=45°，

在△AE′D和△AED中，

，

∴△AE′D≌△AED（SAS），

∴DE=DE′，

∴DE2=BD2+EC2．

【解析】解：（1）∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案为：SAS；△AFG；（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF；

（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2 ， 证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2 ．