Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）当△BDM为直角三角形时，求的值．

（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）-;（3）P（，-）；.

【解析】

试题分析: （1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先表示出DM2，BD2，MB2，再利用DM2+MB2=BD2，即可求得m的值；

（3）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值．

试题解析：（1）由题意可得：y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴当y=0时，0=m（x-3）（x+1），

解得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如图1，

∵y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，

∴顶点M坐标（1，-4m），

当x=0时，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

当△BDM为Rt△，∠M为直角的直角三角形时，有：DM2+MB2=BD2．

DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得m=-（m=舍去）．

故m=-时，△BDM为以∠M为直角的直角三角形；

（3）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

， 解得，

故C1：y=x2-x-．

如图2：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x-，

设P（x，x2-x-），则Q（x，x-），

PQ=x--（x2-x-）=-x2+x，

S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOB=×（-x2+x）×3=-（x-）2+，

当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，

则×（）2--=-，

故P（，-）．