Question

【题目】如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBDF的形状，并对结论给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO，AO=CO，

∵AE=CF，

∴AO﹣AE=CO﹣FO，

∴EO=FO，

在△BOE和△DOF中 ，

∴△BOE≌△DOF（SAS）

（2）证明：四边形EBDF为菱形，

理由：∵BO=DO，FO=EO，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵BD⊥EF，

∴四边形EBDF为菱形．

【解析】（1）根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；（2）根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分即可以解答此题．