Question

【题目】在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）y=x﹣1；（3）若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．

【解析】

试题分析：（1）由A、B、C三点坐标可知∠CBO=60°，又因为点D是△ABC的内心，所以BD平分∠CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度；

（2）根据题意可知，DF为半径，且∠DFE=90°，过点F作FG⊥y轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；（3）⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，该点是△ABC的外接圆圆心，即为点D，所以DP=2，又因为点P在直线EF上，所以这样的点P共有2个，且由勾股定理可知PF=3．

试题解析：（1）连接BD，

∵B（，0），C（0，3），

∴OB=，OC=3，

∴tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°

∵点D是△ABC的内心，

∴BD平分∠CBO，

∴∠DBO=30°，

∴tan∠DBO=，

∴OD=1，

∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；

（2）连接DF，

过点F作FG⊥y轴于点G，

∵E（0，﹣1）

∴OE=1，DE=2，

∵直线EF与⊙D相切，

∴∠DFE=90°，DF=1，

∴sin∠DEF=，

∴∠DEF=30°，

∴∠GDF=60°，

∴在Rt△DGF中，

∠DFG=30°，

∴DG=，

由勾股定理可求得：GF=，

∴F（，），

设直线EF的解析式为：y=kx+b，

∴，

∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；

（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，

∴该点必为△ABC外接圆的圆心，

由（1）可知：△ABC是等边三角形，

∴△ABC外接圆的圆心为点D

∴DP=2，

设直线EF与x轴交于点H，

∴令y=0代入y=x﹣1，

∴x=，

∴H（，0），

∴FH=，

当P在x轴上方时，

过点P1作P1M⊥x轴于M，

由勾股定理可求得：P1F=3，

∴P1H=P1F+FH=，

∵∠DEF=∠HP1M=30°，

∴HM=P1H=，P1M=5，

∴OM=2，

∴P1（2，5），

当P在x轴下方时，

过点P2作P2N⊥x轴于点N，

由勾股定理可求得：P2F=3，

∴P2H=P2F﹣FH=，

∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°

∴sin∠OHE=，

∴P2N=4，

令y=﹣4代入y=x﹣1，

∴x=﹣，

∴P2（﹣，﹣4），

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．