Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BD=2 ，

∵D是BC的中点，

∴BC=2BD=4

（2）证明：连接OD．

∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°

∴DE是⊙O的切线．

【解析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．
【考点精析】通过灵活运用含30度角的直角三角形和圆周角定理，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可以解答此题．