Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．

（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，

∵CE=BC，

∴AD=CE，AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形，

∵AB=DC，AE=AB，

∴AE=DC，

∴四边形ACED是矩形

（2）

解：∵四边形ACED是矩形，

∴OA= AE，OC= CD，AE=CD，

∴OA=OC，

∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴OC=AC=4，

∴CD=8．

【解析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，求出AD=CE，AD∥CE，AE=DC，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质得出OA= AE，OC= CD，AE=CD，求出OA=OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案．
【考点精析】利用平行四边形的性质和矩形的判定方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．