Question

【题目】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线．

（2）如图2，已知△ABC是特异三角形，且∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．

（3）如图3，△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角度数为整数，请求出其特异线的长度；若它的顶角度数不是整数，请直接写出顶角度数．

Answer 1

【答案】（1）AE是△ABC是一条特异线

（2）符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．

（3）若它的顶角度数不是整数，则顶角度数为（）°．

【解析】

试题分析：（1）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．

（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．

（3）如图3中，当BD是特异线时，分两种情形讨论即可．当AD是特异线时，不合题意．

试题解析：（1）证明：如图1中，

∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，

∴AE是△ABC是一条特异线．

（2）如图2中，

当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，

如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=DB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．

如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°

当CD为特异线时，不合题意．

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．

（3）如图3中，

当BD是特异线时，有两种情形，如果AD=BD=BC，设∠A=x，则x+2x+2x=180°，解得x=36°，

设AD=BD=BC=a，

由△BCD∽△ABC得到，

∴，

∴a2+2a﹣4=0，

∴a=﹣1+或﹣1﹣（舍弃）．

如果AD=BC，BC=CD，设∠A=x，则2x+2x+3x=180°解得x=（）°．

当AD是特异线时，如果DA=DB，CA=CD，设∠B=∠C=x，则x+2x+2x=180°，解得x=36°，

∴∠BAC=108°，不符合题意．

∴△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角度数为整数，其特异线的长度为﹣1+，

若它的顶角度数不是整数，则顶角度数为（）°．