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【题目】如图1，抛物线y
2
与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点H，与AC相交于点T．
（1）点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交抛物线的对称轴于点Q，当△AQH面积最大时，点M、N在y轴上（点M在点N的上方），MN
，点G在直线AC上，求PM+NG
GA的最小值．
（2）点E为BC中点，EF⊥x轴于F，连接EH，将△EFH沿EH翻折得△EF'H，如图所示2，再将△EF'H沿直线BC平移，记平移中的△EF'H为△E'F″H'，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R，则是否存在这样的点R，使得△RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标．
【答案】（1）
；（2）点R的坐标为R(﹣4，0)或R(5，0)
【解析】
（1）由抛物线解析式可求
，对称轴x＝2，过P点作PT′∥QT，由PQ∥AC可知，四边形QTT′P是平行四边形，QT＝PT’，因为HT为定值，所以PT′最大时，△AQH面积最大，由此构建二次函数，求出点P坐标，过点G作GE⊥x轴于E，作x轴关于直线AC的对称直线l，E的对称点为E′，将PM沿y轴向下平移
个单位至P′N，作点P′关于y轴的对称点P″，过P″作P″S⊥l于S，则有PM+NG
GA＝P″N+NG+GE′≥P″S，求出P″S即可；
（2）先求得点E，F，F′，H′，R的坐标，根据△RF'H'为等腰三角形，分三种情况分别求解即可．
（1）如图1，抛物线y
2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），
∴A（6，0）；B（﹣2，0）；C（0，2），
∴直线AC的解析式为：
，
∵tan∠CAO
，
∴∠CAO＝30°
过P点作PT′∥QT，交AC于T′，
设P
，T′
，
则PT′
m+2
（
m+2）
（m﹣3）2
∵PQ∥AC，
∴四边形QTT′P是平行四边形，
∴QT＝PT′，
当△AQH面积最大时，HQ最大，即PT′最大，
即m＝3时，△AQH面积最大，
此时P点坐标为
．
过点G作GE⊥x轴于E，作x轴关于直线AC的对称直线l，E的对称点为E′，将PM沿y轴向下平移个单位至P′N，作点P′关于y轴的对称点P″，过P″作P″S⊥l于S，则有
PM+NGGA＝P″N+NG+GE′≥P″S
∵P′（3，
），P″与P′关于y轴对称
∴P″（﹣3，），
∵∠CAO＝30°，直线l与x轴关于直线AC对称
∴∠CAS＝∠CAO＝30°，
∴∠SAO＝60°
设直线l的解析式为y＝kx+b，则k＝﹣tan∠SAO＝﹣tan60°
∴yx+b，将A（6，0）代入得：0
6+b，解得：b＝6，
∴直线l的解析式为yx+6，
∵P″S⊥l
∴∠P″SA＝90°
过点P″作P″K∥x轴交AS于K，则K（
，），
∴P″K
（﹣3）
，
∵P″K∥x轴
∴∠P″KS＝∠SAO＝60°
∵
sin∠SAO
∴P″S＝P″Ksin∠SAOsin60°
，′
∴PM+NGGA的最小值；
（2）∵y2
（x﹣2）2
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∴H（2，0），
由（1）知：A（6，0）；B（﹣2，0）；C（0，2），
∵点E为BC中点，EF⊥x轴于F，
∴E（﹣1，），F（﹣1，0）
∴F′（
，）
∵
∴△EF′H沿直线BC平移，各个点横纵坐标变化为
，设△EF′H沿直线BC平移后的△E′F″H′各顶点坐标分别为E′（﹣1+t，
t），H′（2+t，t）
则直线E′H′解析式为y
x
t，令y＝0，则x＝2+4t
∴R（2+4t，0），
∴H′R2＝[（2+t）﹣（2+4t）]2+（t﹣0）2＝12t2，
H′F′2＝[2+t
）]2+（t
）2＝4t2﹣6t+9，
F′R2
16t2+12t+9，
∵△RF'H'为等腰三角形，
∴H′R2＝H′F′2或H′F′2＝F′R2或F′R2＝H′R2，
①当H′R2＝H′F′2时，则12t2＝4t2﹣6t+9，解得：t1
，t2
此时，R（﹣4，0）或R（5，0）
②当H′F′2＝F′R2时，则4t2﹣6t+9＝16t2+12t+9，解得：t＝0或
，
t＝0不符合题意，t与①重复
③当F′R2＝H′R2时，16t2+12t+9＝12t2，解得：t1＝t2，与①重复
综上所述，点R的坐标为R（﹣4，0）或R（5，0）．
