Question

【题目】连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1=kx+b，直线BE解析式记作y2=mx+t．求：

（1）直线AB的解析式△BCF的面积；
（2）当x等于多少时，kx+b＞mx+t；
当x等于多少时，kx+b＜mx+t；
当x等于多少时，kx+b=mx+t；
（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，求H的坐标．

Answer 1

【答案】解：（1）观察函数图象可知：
点C（﹣4，0），点D（0，2），点B（2，3），
将C、D点坐标代入直线AB的解析式中，得 ，
解得：．
∴直线AB的解析式为y1=x+2．
将点B（2，3），E（3，1）代入到直线BE的解析式中，得 ，
解得： ．
∴直线BE的解析式为y2=﹣2x+7．
令y2=0，则有﹣2x+7=0，解得m=，
即点F的坐标为（，0）．
∴CF=﹣（﹣4）=，
∴△BCF的面积S=×3CF=×3×=．
（2）结合函数图象可知：
当x＞2时，kx+b＞mx+t；当x＜2时，kx+b＜mx+t；当x=2时，kx+b=mx+t．
故答案为：＞2；＜2；=2．
（3）设点H的坐标为（n，0）．
∵点O（0，0），点B（2，3），
∴OB= =，OH=|n|，BH=．
△OBH为等腰三角形分三种情况：
①当OB=OH时，即=|n|，解得：n=±，
此时点H的坐标为（﹣，0）或（，0）；
②当OB=BH时，即=，解得：n=0（舍去），或n=4．
此时点H的坐标为（4，0）；
③当OH=BH时，即|n|=，解得：n=．
此时点H的坐标为（，0）．
综上可知：点H的坐标为（﹣，0）、（，0）、（4，0）或（，0）．
【解析】（1）根据观察图象可以找出点B、C、D的坐标，根据待定系数法即可求出直线AB、BE的解析式，令y2=0即可求出点F的坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（2）当直线AB的图象在直线BE图象上方时，有kx+b＞mx+t；当直线AB的图象在直线BE图象下方时，有kx+b＜mx+t；二者相交时，有kx+b=mx+t．结合图象即可得出结论；
（3）设点H的坐标为（n，0），用两点间的距离公式找出OB、OH、BH的长度，结合△OBH为等腰三角形的三种情况，即可求出n的值．