Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，BC=3，分别过点B，C作BE∥AC，CE∥BD，且BE，CE相交于点E．
（1）求AB，AC的长；
（2）判断四边形BOCE的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，且∠ACB=30°，

∴AC=2AB，

设AB=x，则AC=2x，在Rt△ABCD中，由勾股定理可得x2+32=（2x）2，解得x= 或x=﹣ （舍去），

∴AB= ，AC=2

（2）解：四边形BOCE是菱形，理由如下：

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴四边形BOCE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，

∴BO=CO，

∴四边形BOCE是菱形

【解析】（1）由矩形的性质可△ABC为直角三角形，由条件结合勾股定理可求得AB、AC的长；（2）由条件可先判定四边形BOCE为平行四边形，再结合矩形的性质可判定其为菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的判定方法的相关知识，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．