Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；

（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

Answer 1

【答案】(1)、BP=4；(2)、PA+PC=PB，证明过程见解析；(3)、PA+PC=PB，证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据题意得出△ABC为等边三角形，根据点P在∠ABC的平分线上，则∠ABP=30°，根据∠PAB=90°得出BP=2AP；(2)、在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，证明△ABD和△ACP全等，从而得出PC=BD，得出所求的答案；(3)、根据第二题同样的方法得出线段之间的关系.

试题解析：(1)、∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，

又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，∴∠ABP=30°∴∠PAB=90°．∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4．

(2)、结论：PA+PC=PB．

在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD．

∵∠APB =60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP =60°，

∴∠1=∠2，PA=PD，又∵AB=AC，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB．

(3)、结论：PA+PC=PB．