Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．

（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ；

（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3）在运动过程中，当直线MN与⊙O相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】(1) t=1；(2) t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形;(4) ，当直线MN与⊙O相切时，t的值是s或s．

【解析】

试题分析：（1）根据速度和时间表示PB=4t，利用同角的三角函数列式为：tan∠DBC= ，得PQ=3t；则BQ=5t，根据角平分线的性质得：CQ=PQ，列方程可得结果；（2）如图2中，作MT⊥BC于T，由等腰三角形三线合一得：TQ=（8﹣5t），证明△QTM∽△BCD，列比例式得，代入可得方程，解方程即可；（3）由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，则sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，分两种情况：①若点O在正方形外MN与⊙O相切，如图3所示，根据同角的三角函数列式可得结果；②若点O在正方形内MN与⊙O相切，如图4所示，同理列式：，解出即可．

试题解析：（1）由题意得：PB=4t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°

∵PQ⊥BC

∴∠BPQ=90°

∵BC=AD=8，CD=6

∴tan∠DBC=

∴

∴PQ=3t

由勾股定理得：BQ=5t

∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t，

∵DQ平分∠BDC，DC⊥BC，

∴CQ=PQ，

则8﹣5t=3t，

t=1；

故答案为：1；

（2）如图2中，作MT⊥BC于T，

∵MC=MQ，MT⊥CQ，

∴TC=TQ，

由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=PQ=3t，

∵四边形PQMN为正方形，

∴MQ∥PN，

∴∠MQT=∠DBC，

∴△QTM∽△BCD，

∴，

∴，

∴t=（s）；

∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形；

（3）设MN与⊙O相切于点F，与CD交于点E，则OF=0.8，

由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，

∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，

∴ ，

∴，

∴OE= ，

①若点O在正方形外MN与⊙O相切，如图3所示，

∵OD=3t，

∴DE=3t+，

∵BP=4t，NP=PQ=3t，

∴DN=10﹣7t，

∴，

∴t=；

②若点O在正方形内MN与⊙O相切，如图4所示，

∵OD=3t∴DE=3t﹣，

∵BP=4t，NP=PQ=3t，

∴DN=10﹣7t，

∴，

∴t=，

综上所述，当直线MN与⊙O相切时，t的值是s或s．