Question

【题目】如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且．

（1）求抛物线的解析式与k的值；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；

（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），k的值为；（2）的长为或10；（3）存在，点G的横坐标为或或或．

【解析】

（1）根据抛物线可求得点C的坐标，代入即可求得t的值，由，求得点N的坐标，进而求得k的值；

（2）因为∠AOC=∠EDA=90°已确定，所以分两种情况讨论△BDA与△AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长；

（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标．

（1）当时，，

∴点C的坐标为 (0，4)，

∵点C (0，4)在抛物线的图象上，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为，

∵C (0，4)，，

∴，

∴点N的坐标为 (，0)，

∵直线过N (，0)，

∴,

解得,

∴抛物线的解析式为，k的值为；

（2）连接，

令，则,

解得，

∴点A的坐标为 (，0)，点B的坐标为 (4，0)，

∴抛物线的对称轴为直线．

∴点A的坐标为 (，0)，

∵C (0，4)，

∴，，，

①当时，

，

∴，

∴；

②当时，

，

∴，

∴，

综上，的长为或10；

（3）如图，点是点Q关于直线的对称点，且点在y轴上时，

由轴对称性质可知，，，，

∵轴，∴轴．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形为菱形，

∴，

作轴于点P，

设，

则，

∴，

，

∵，

∴，

令，则，令，则，

∴直线与坐标轴的交点分别为M (0，3)，N(，0)，

∴OM=3，ON=4，

在中，，

∴，

∴，

解得，，，，

经检验，，，都是所列方程的解，

综上，点G的横坐标为或或或．