Question

【题目】如图，已知等腰△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连接FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，连接GC．

（1）求证：EF∥CG；

（2）若AC=AB，求证：AC=CG；

（3）如图2，若CG=EG，则= ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）

【解析】

试题分析：（1）由点D、E分别是线段AC、BC的中点可得出DE为△ABC的中位线，根据中位线的性质即可得出∠CDE=∠A，进而可得出∠FDG=∠A，由此即可证出△ABF≌△DGF（ASA），根据全等三角形的性质即可得出BF=GF，即点F为线段BG的中点，再根据中位线的性质即可得出EF∥CG；

（2）过点C作CM⊥AB于点M，根据边与边的关系找出比例关系==，由此即可得出△BAF∽△CAM，进而得出CF⊥BG，再由点F为线段BG的中点即可得出BC=CG，通过等量代换即可证出AC=CG；

（3）根据DE∥AB即可得出∠GEC=∠CBA，结合两三角形为等腰三角形即可得出△GEC∽△CBA，再根据相似三角形的性质即可得出，代入数据即可得出结论．

试题解析：（1）∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AB，∴∠CDE=∠A．∵∠CDE=FDG，∴∠FDG=∠A．

∵点F为线段AD的中点，∴AF=DF．

在△ABF和△DGF中，，

∴△ABF≌△DGF（ASA），∴BF=GF，∴点F为线段BG的中点，

∵点E为线段BC的中点，∴EF为△BCG的中位线，∴EF∥CG．

（2）在图1中，过点C作CM⊥AB于点M．∵AC=BC，

∴AM=BM=AB．∵AC=AB，

∴==．∵AF=AD=AC=AB，∴==，

∴△BAF∽△CAM，∴∠AFB=∠AMC=90°，∴CF⊥BG．

∵点F为线段BG的中点，∴BC=CG，又∵AC=BC，∴AC=CG．

（3）∵DE为△ABC的中位线，∴DE=AB，CE=BC=AC，∵DG=AB，EG=DE+DG，

∴EG=AB．∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG，

∴△GEC∽△CBA，∴，既，∴

故答案为：．