Question

【题目】【问题提出】

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

【问题探究】

不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．

【探究一】

（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

此时，显然能搭成一种等腰三角形．

所以，当n=3时，m=1．

（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．

所以，当n=4时，m=0．

（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．

若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．

所以，当n=5时，m=1．

（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．

若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．

所以，当n=6时，m=1．

综上所述，可得：表①

【探究二】

（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）

（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（只需把结果填在表②中）

表②

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…

【问题解决】：

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）

表③

【问题应用】：

用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填结果）

Answer 1

【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．

【解析】

试题分析：探究二：仿照探究一的方法进行分析即可；

问题解决：根据探究一、二的结果总结规律填表即可；

问题应用：根据规律进行计算求出m的值．

试题解析：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形

分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

当n=7时，m=2．

（2）用8根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，则不能搭成一种等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=8时，m=1．

用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形

分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当n=9时，m=2．

用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形

分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形

所以，当n=10时，m=2．

故答案为：2；1；2；2．

问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．

问题应用：2016÷4=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷3=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．