Question

【题目】如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B，点C不重合）．连接CB，CP．

（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）当m＞1时过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当m=3时，y=﹣x2+6x=﹣x（x﹣6）．

令y=0得：﹣x（x﹣6）=0，解得x=0或x=6，

∴点A的坐标为（6，0）．

∴抛物线的对称轴为直线x=3．

∵B、C关于直线x=3对称，

∴BC=2×（3﹣1）=4

（2）

解：如图1所示：过点C作AH⊥x轴，垂足为H．

∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为x=m，

∴点B和点C直线x=m对称．

∵当x=1时，y=2m﹣1，

∴点B的坐标为（1，2m﹣1）．

∴PB=m﹣1．

∵点B与点C关于直线x=m对称，

∴C（2m﹣1，2m﹣1）．

∴BC=2m﹣2．

∴H（2m﹣1，0）．

∴AH=1，CH=2m﹣1．

∵∠ACH=∠PCB=90°，

∴∠ACH=∠BCP．

又∵∠AHC=∠PCB=90°，

∴△ACH∽△PCB．

∴ = ，即 = ，

∴m=

（3）

解：当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1．

①若点E在x轴上时，如图2所示：

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，

∴∠BPC=∠MEP．

在△BPC和△MEP中， ，

∴△BPC≌△MEP．

∴BC=PM．

∴2（m﹣1）=m，解得m=2，

∴E（2，0）．

若点E在y轴上，如图3所示：过点P作PN⊥y轴与点N．

∵∠EPC=90°，

∴∠EPB+∠BPC=90°．

∵∠NPE+∠EPB=90°，∠NEP=∠EPB，

∴∠BPC=∠EPN．

在△EPN和△CPB中，

∴△BPC≌△NPE．

∴BP=NP=OM=1，

∴m﹣1=1，

∴m=2

∴E（0，4）．

综上所述，当m=2时，点E的坐标为（2，0）或（0，4）

【解析】（1）把m=3代入得到抛物线的解析式，然后令y=0得：﹣x（x﹣6）=0，从而可求得点A的坐标，利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=m，然后利用抛物线的对称性可得到BC的长；（2）过点C作AH⊥x轴，垂足为H．先求得点B和点C的坐标，由点B、点P和点C的坐标可得到PB、BC的长，然后由点C和点A的坐标可求得CH，AH的长，接下来，再证明△ACH∽△PCB，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可；（3）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1．①若点E在x轴上时，先证明△BPC≌△MEP，依据全等三角形的性质可得到BC=PM，然后依据BC=PM可得到关于m的方程，从而可求得m的值，故此可得到E的坐标；②若点E在y轴上，过点P作PN⊥y轴与点N．然后证明△BPC≌△NPE，则BP=NP=OM=1，则m﹣1=1，可求得m=2，于是可求得点E的坐标．