Question

【题目】如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．
（1）把△ABC纸片按（如图1）所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；
（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时 （如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
（3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），∠C与∠1、∠2的关系是（直接写出结论）

Answer 1

【答案】解：（1）根据折叠的性质得：∠DFE=∠A，
∵∠A=∠C，
∴∠DFE=∠C，
∴BC∥DF；
（2）2∠C=∠1+∠2，
理由：∵四边形的内角和等于360°，
∴∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°．
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2．
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠1+∠2；
（3）∠2﹣∠1=2∠C，
证明如下：由题意得：∠A′ED=∠AED（设为α），∠A′DE=∠ADE（设为β）；
∵∠2+2α=180°，∠1=β﹣∠BDE
=β﹣（∠A+α），
∴∠2﹣∠1
=180°﹣（α+β）+∠A；
∵∠A=180°﹣（α+β），
∴∠2﹣∠1=2∠A，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠2﹣∠1．
故答案为：2∠C=∠2﹣∠1．
【解析】（1）根据折叠的性质得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED=∠AED（设为α），∠A′DE=∠ADE（设为β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β﹣∠BDE=β﹣（∠A+α），推出∠2﹣∠1=180°﹣（α+β）+∠A，根据三角形的内角和得到∠A=180°﹣（α+β），证得∠2﹣∠1=2∠A，于是得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对三角形的外角的理解，了解三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．