Question

【题目】已知，ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．

(2)如图1，求AF的长．

(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)AF＝5；(3)以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒．

【解析】

（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形作出判定；

（2）根据勾股定理即可求的长；

（3）分情况讨论可知，点在上，点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

解：（1）四边形是矩形，

，

，．

垂直平分，

．

在和中，

，

，

．

，

四边形是平行四边形，

，

四边形为菱形．

（2）设菱形的边长，则，

在中，，由勾股定理，得

，

解得：，

．

（3）由作图可以知道，点上时，点上，此时，，，四点不可能构成平行四边形；

同理点上时，点或上，也不能构成平行四边形．

只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形，

以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，

，

点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，

，，

，

解得：．

以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．