Question

【题目】已知函数f（x）= x2+ax2+bx﹣ （a＞0，b∈R），f（x）在x=x1和x=x2处取得极值，且|x1﹣x2|= ，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明关于x的方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有两个实数根（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求导f′（x）=x2+2ax+b，由f（x）在x=x1和x=x2处取得极值， 则x1 ， x2是方程x2+2ax+b=0的两个根，则x1+x2=﹣2a，x1x2=b，
由|x1﹣x2|= ，则（x1+x2）2﹣4x1x2=5，则4a2﹣4b=5，①
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y=0垂直，
则f′（1）=1，
即2a+b+1=0，②，
解得： ．
∴f（x）= x3+ x2﹣x﹣ ，
（Ⅱ）对于（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0，
当k=0时，ex﹣1=0，方程为实根，
当k≠0时，k+ = ，令g（x）= ，
g′（x）=﹣e =﹣e ，
当x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）的单调递减区间（﹣∞，﹣1），（2，+∞）单调递增区间（﹣1，2），
函数g（x）在x=﹣1和x=2处分别求得极小值和极大值，
g（x）极小=g（﹣1）=﹣e2＜0，g（x）极大=g（2）= ＞0，
∴对于g（x）= ，由ex﹣1＞0恒成立，
且y=x2+x﹣1时与x轴有两个交点，
从而g（x）无极大值，g（x）min=g（x）极小=g（﹣1）=﹣e2 ，
当k＜0时，k+ ≤﹣2直线y=k+ ，与曲线y=g（x）至多有两个交点，
当k＞0时，k+ ≥2＞ =g（x）极大 ， 直线y=k+ ，与曲线y=g（x）只有一个交点，
∴方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有两个实数根．
【解析】（Ⅰ）由题意可知x1 ， x2是方程x2+2ax+b=0的两个根，利用韦达定理及|x1﹣x2|= ，求得4a2﹣4b=5，由f′（1）=1，2a+b+1=0联立即可求得a和b的值，求得f（x）的解析式；（Ⅱ）由题意可知当k≠0时，k+ = ，构造辅助函数，求导根据函数的单调性求得函数的极值及最值，利用基本不等式的性质，当k＜0时，k+ ≤﹣2直线y=k+ ，与曲线y=g（x）至多有两个交点，当k＞0时，k+ ≥2＞ =g（x）极大 ， 直线y=k+ ，与曲线y=g（x）只有一个交点，即可求证方程至多有两个实根．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．