Question

【题目】如图，D是正△ABC的外接圆⊙O上弧AB上一点，给出下列结论：①∠BDC=∠ADC=60°；②AEBE=CEED；③CA2=CECD；④CD=BD+AD．其中正确的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

Answer 1

【答案】A

【解析】

试题分析：连接AD，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=60°，由圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，于是得到∠BDC=∠ADC=60°，故①正确；根据圆周角定理得到∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，推出△BDE∽△ACE，根据相似三角形的性质即可得到AEBE=CEED；故②正确；由于∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，得到△ACD∽△ACE，根据相似三角形的性质得到CA2=CECD；故③正确；在CD上截取CF=BD，通过△ABD≌△ACF，得到AD=AF，推出△ADF是等边三角形，得到DF=AD，等量代换即可得到结论．

解：连接AD，∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠ADC=60°，故①正确；

∵∠D=∠A，∠ABD=∠ACD，

∴△BDE∽△ACE，

∴，

∴AEBE=CEED；故②正确；

∵∠ADC=∠EAC=60°，∠ACE=∠ACD，

∴△ACD∽△ACE，

∴，

∴CA2=CECD；故③正确；

在CD上截取CF=BD，

在△ABD与△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF，

∴AD=AF，

∵∠ADC=60°，

∴△ADF是等边三角形，

∴DF=AD，

∵CD=CF+DF，

∴CD=BD+AD．故④正确．

故选A．