Question

【题目】如图1，E为边长为1的正方形ABCD中CD边上的一动点（不含点C、D），以BE为边作图中所示的正方形BEFG

（1）求∠ADF的度数

（2）如图2，若BF交AD于点H，连接EH，求证：HB平分∠AHE

（3）如图3，连接AE、CG，作BM⊥AE于点M，BM交GC于点N，连接DN．当E在CD上运动时，求证：NC=NG

Answer 1

【答案】（1）∠FDA=45°;（2）证明见解析;（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先利用同角的余角相等得出∠EFG=∠BEC，从而判断出△BCE≌△EGF，即可EG=BC=CD，进而得出△FDG为等腰直角三角形即可；

（2）同（1）的方法判断出△ABH≌△CBM，△BEH≌△BEM，进而得出∠AHB=∠BHE即可；

（3）同（1）方法判断出△CPB≌△BMA，△BQG≌△EMB，进而得出CP=GQ=BM，又得出△CPN≌△GQN，得出NC=NG，最后根据点E的运动情况判断出点E和C重合时，DN最小，用勾股定理求解即可，点E和点D重合时，DN最大，用勾股定理求解即可．

试题解析：

（1）如图1，

过点F作FG⊥DG交CD的延长线于G，

∴∠EFG+∠FEG=90°，

∵∠FEG+∠BEC=90°，

∴∠EFG=∠BEC，

在△BCE和△EGF中， ，

∴△BCE≌△EGF，

∴BC=EG

∴EG=BC=CD

∴DG=CE=FG

∴△FDG为等腰直角三角形

∴∠FDA=45°

（2）如图2，

延长EC至M，且使CM=AH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BAH=∠BCM=90°，

在△ABH和△BCM中，

∴△ABH≌△CBM（SAS），

∴∠AHB=∠CMB，BH=BM，

∵BE是正方形BEFG的对角线，

∴∠EBH=45°，

∴∠ABH+∠CBE=45°，

∴∠EBM=∠CBM+∠CBE=45°，

∴∠EBH=∠MBE，

在△BEH和△BEM中，

∴△BEH≌△BEM（SAS）

∴∠BHE=∠BME，

∵∠AHB=∠CMB，

∴∠AHB=∠BHE，

∴HB平分∠AHE；

（3）如图3，

过点C作CP⊥BM于P，过点G作GQ⊥BM于Q，

∵∠ABM+∠CBM=90°，∠BCP+∠CBM=90°

∴∠ABM=∠BCP，

在△CPB和△BMA中， ，

∴△CPB≌△BMA，

∴CP=BM，

同理：△BQG≌△EMB，

∴GQ=BM，

∴CP=GQ=BM

在△CPN和△GQN中， ，

∴△CPN≌△GQN（AAS）

∴NC=NG，