Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，以AD为边向形外作等边△ADE，连接CE.(1) 求证：△ACE≌△ABD；

(2) 在点D运动过程中，∠DCE的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由；

(3) 若∠BAE=150°，△ABD的面积为6，求四边形ACDE的面积.

备用图

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不发生变化，理由见解析；（3）12

【解析】试题分析：（1）易证AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，即可求得∠BAD=∠CAE，由全等三角形的判定SAS，证明△ABD≌△ACE；

（2）根据（1）知△ACE≌△ABD，然后根据全等三角形的性质和等边三角形性质，得出∠DCE=60°，得出不发生变化；

（3）根据（1）的结论，由∠BAE=150°，得到△ACE，△DCE，△ABD的面积相等，从而求出四边形的面积.

试题解析：(1) ∵△ABC为等边三角形，△ADE为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE，即∠BAD=∠CAE.在△ACE与△ABD中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ACE≌△ABD；

(2) 在点D运动过程中，∠DCE的度数不发生变化.理由如下：由(1)知：△ACE≌△ABD，∴∠ABC=∠ACE=60°.∵∠ACB=60°，∴∠ACD=120°，∠DCE=60°，∴在点D运动过程中，∠DCE的度数不发生变化.

（3）∵△ABC和△ADE是等边三角形

∴∠BAC=∠DAE=60°

∵∠BAE=150°

∴∠CAD=30°，∠BAD=90°，

∴∠BAD=30°

即△ACE≌△DCE

∵△ABD≌△ACE

∴四边形ACDE的面积=2△ACD的面积=2△ABD的面积=2×6=12.