Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；

（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=S△BCD，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣（x﹣1）2+4；(2)C（﹣1，0），D（3，0）；6；(3)P（1+，），或P（1﹣，）

【解析】

试题分析：(1)设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解

(2)令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；(3)、先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．

试题解析：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，

把点B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； 令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∴CD=4，∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；

(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4， ∵S△PCD=S△BCD，

∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3， ∴|yP|=， ∵点P在x轴上方的抛物线上，

∴yP＞0， ∴yP=， ∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； ∴=﹣（x﹣1）2+4，

∴x=1±， ∴P（1+，），或P（1﹣，）．