Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.

（1）求证：△AGE≌△AGD

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AG=6，EG=2，求BE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）AF·GF=2EG，证明见解析；

（3）BE的长为 .

【解析】(1)证明：∵△AEF是由△ADF折叠得到的

∴AD=AE，∠DAG=∠EAG

又∵AG=AG

∴△AGE≌△AGD

（2）AF×GF=2EG 证明如下：

连接DE交GF于点O

∵△AEF是由△ADF折叠得到的

∠DAG=∠EAG，DF=EF

∵△AGE≌△AGD

∴GD=GE，∠ AGD=∠AGE

∴∠ FGD=∠FGE

∵EG∥CD

∴∠DFG=∠FGE

∴∠ FGD=∠DFG

∴GD=DF

∴GD=EG=EF=DF

∴四边形DGEF是菱形

AF⊥DE，OF=GF

∴∠ADF=∠DOF =90°

又∵∠DFO=∠DFA

∴△DFO∽△AFD

∴

∴OF×AF=DF

∵OF=GF, DF=EG

∴GF×AF= EG

即：AF×GF=2EG

（2）过点G作GH⊥CD于H

则四边形CHGE是矩形，

∴CE=GH

设GF=x，则AF=6+x

∵AF×GF=2EG EG=2

∴x(6+x)=40

解得：x=4

∴GF=4,

∴ AF=6+4=10

在Rt△AEF中

AE=

∴BC=AD=AE=4

∵GH∥AD

∴△FGH∽△FAD

∴

∴

∴CE=GH=

∴BE=BC-CE=4-=