Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣ ，0）的两条直线分别交y轴于B，C两点，且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根．

（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4；

（2）解：垂直，理由如下：

∵A（﹣ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣ ，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴ ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣1，

∵DB=DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上，

∴D的纵坐标为1，

∴把y=1代入y=﹣ x﹣1，

∴x=﹣2 ，

∴D的坐标为（﹣2 ，1）．

【解析】（1）解方程x2﹣2x﹣3=0求得x的值，从而可得到BC的长；
（2）利用A、B、C的坐标，求得OA、OB、OC的长，可证明△AOC∽△BOA，从而求得∠BAC=90°，得证；
（3）由A、C坐标，利用待定系数法求得直线AC的解析式，结合条件可得D在线段BC的垂直平分线上，可求得D点的坐标.