Question

【题目】根据直角三角形的判定的知识解决下列问题
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；

（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；

∵∠ABP=∠CBQ，

∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；

又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；

∴BP=PQ；

∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°

（2）

解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：

同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；

由旋转的性质知：PA=QC；

在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；

故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°．

【解析】（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°；（2）由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．