Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE=；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上； ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）①证明：∵PF⊥EG，

∴∠EOF=90°，

∴∠EOF+∠A=180°，

∴A、P、O、E四点共圆，

∴点O一定在△APE的外接圆上；

②解：连接OA、AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，∠BAC=45°，

∴AC= =4 ，

∵A、P、O、E四点共圆，

∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴点O在AC上，

当P运动到点B时，O为AC的中点，OA= AC=2 ，

即点O经过的路径长为2 ；

（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：

则MN∥AE，

∵ME=MP，

∴AN=PN，

∴MN= AE，

设AP=x，则BP=4﹣x，

由（1）得：△APE∽△BCP，

∴ ，即 ，

解得：AE=x﹣ x2=﹣ （x﹣2）2+1，

∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大= ×1= ，

即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为 ．

【解析】（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形， ∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠PBC，
∴△APE∽△BCP，
∴ ，即 ，
解得：AE= ；
故答案为： ；
（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；（2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；②连接OA、AC，由光杆司令求出AC=4 ，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN= AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE=x﹣ x2=﹣ （x﹣2）2+1，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值= 即可．