Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴与A，B两点（点A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵S△CEF= EFyC= ×2m=6，

∴m=6，即点C的坐标为（4，6），

将点C（4，6）代入抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）中，

得：6=16a+8+6，解得：a=﹣ ，

∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+2x+6

（2）

解：假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N，如图1所示．

令抛物线y=﹣ x2+2x+6中y=0，则有﹣ x2+2x+6=0，

解得：x1=﹣2，x2=6，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，﹣ n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），

∵直线AC过点A（﹣2，0）、C（4，6），

∴ ，解得： ，

∴直线AC的解析式为y=x+2．

∵点P的坐标为（n，﹣ n2+2n+6），

∴点N的坐标为（n，n+2）．

∵S△ACP= PN（xC﹣xA）= ×（﹣ n2+2n+6﹣n﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣ （n﹣1）2+ ，

∴当n=1时，S△ACP取最大值，最大值为 ，

此时点P的坐标为（1， ）．

∴在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（1， ）

（3）

解：∵直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，

∴设直线CD的解析式为y=﹣x+c，

∵点C（4，6）在直线CD上，

∴6=﹣4+c，解得：c=10，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+10．

联立直线CD与抛物线解析式成方程组： ，

解得： ，或 ，

∴点D的坐标为（2，8）．

令直线CD的解析式y=﹣x+10中y=0，则0=﹣x+10，

解得：x=10，即点E的坐标为（10，0），

∵EF=2，且点E在点F的左边，

∴点F的坐标为（12，0）．

设点M的坐标为（12﹣2t，0），则点N的坐标为（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵点N（10﹣2t，2）在抛物线y=﹣ x2+2x+6的图象上，

∴﹣ （10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=2，整理得：t2﹣8t+13=0，

解得：t1=4﹣ ，t2=4+ ．

∴当t为4﹣ 或4+ 秒时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形

【解析】（1）根据三角形的面积公式求出m的值，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出a值，从而得出结论；（2）假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N．根据抛物线的解析式找出点A的坐标．设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，﹣ n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，代入x=n，即可得出点N的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S△ACP关于n的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD的解析式为y=﹣x+c，由点C的坐标利用待定系数法即可得出直线CD的解析式，联立直线CD的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D的坐标，令直线CD的解析式中y=0，求出x值即可得出点E的坐标，结合线段EF的长度即可找出点F的坐标，设出点M的坐标，结合平行四边形的性质以及C、D点坐标的坐标即可找出点N的坐标，再由点N在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t的一元二次方程，解方程即可得出结论．本题考查了三角形的面积公式、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解二元二次方程组、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）用时间t表示出来点N的坐标．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，联立函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
【考点精析】掌握二次函数的性质和三角形的面积是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；三角形的面积=1/2×底×高．