Question

【题目】实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：

（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？

（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？

Answer 1

【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm

【解析】

（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．

（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；

（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.

解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，

由题意可得：，

解得：x=120，

经检验：x=120是分式方程的解，

王诗嬑的的影子长为120cm；

（2）正确，

因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，

则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，

而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，

∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；

（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，

过点F作FG⊥CE于点G，

由题意可得：BC=100，CF=100，

∵斜坡坡度，

∴，

∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，

，

解得：m=20，

∴CG=60，FG=80，

∴BG=BC+CG=160，

过点F作FH⊥AB于点H，

∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，

FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，

可知四边形HBGF为矩形，

∴，

∴AH==200，

∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，

故高圆柱的高度为280cm.