Question

【题目】如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出B点的坐标；

（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+3x+4．B（4，0）；（2）（0，1）．（3）（2，6）

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式中，然后解方程组即可．然后令y=0，即可解决问题；

（2）首先由（1）的抛物线解析式确定点D的坐标，此时可以看出CD平行于x轴，由于OB=OC，即△OCB是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠DCB=45°，因此点D关于直线BC的对称点恰好在y轴上，将点C向下平移CD长个单位就能求出这个对称点的坐标．

（3）利用待定系数法先求出直线BC的解析式，然后过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，用未知数设出点P、Q的坐标，即可得到线段PQ的长度表达式，以PQ为底、OB为高，即可得到△PBC的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出△PBC的面积最大时，点P的坐标．

试题解析：（1）依题意，有：

，解得

∴抛物线的解析式：y=-x2+3x+4．

令y=0，则-x2+3x+4=0

解得：x1=-1，x2=4

故B（4，0）；

（2）将点D（m，m+1）代入y=-x2+3x+4中，得：

-m2+3m+4=m+1，化简，得：m2-2m-3=0

解得：m1=-1（舍），m2=3；

∴D（3，4），因此CD∥x轴；

由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：

∠OCB=∠DCB=45°；

设点D关于直线BC的对称点为点E，则点E在y轴上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，则：

点D关于直线BC的对称点的坐标为（0，1）．

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=-x+4；

过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，

设P（x，-x2+3x+4），则Q（x，-x+4）；

∴PQ=（-x2+3x+4）-（-x+4）=-x2+4x；

S△PCB=PQ×OB=×（-x2+4x）×4=-2（x-2）2+8；

所以，当P（2，6）时，△PCB的面积最大．