Question

【题目】观察下列各式
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
……
（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ．
（2）你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）= ．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+334+335的结果

Answer 1

【答案】
（1）x7﹣1
（2）xn+1﹣1
（3）原式= （3﹣1）（1+3+32+…+334+335）=
【解析】解：（1）根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
（ 2 ）根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1；
(1)认真观察三个等式，可发现它们的共同特征是：等号左边第一个含括号的式子相同，都是(x－1)；从第二个式子开始，等号左边第二个含括号的式子在前一个式子的基础上依次添加了x2、x3、…，而等号右边则依次是x3、x4、…与1的差．于是就能得到：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1 ；
（2）认真观察三个等式，可发现它们的共同特征是：等号左边第一个含括号的式子相同，都是(x－1)；从第二个式子开始，等号左边第二个含括号的式子在前一个式子的基础上依次添加了x2、x3、…，而等号右边则依次是x3、x4、…与1的差．于是就能得到 ：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn+1－1．
(3)首先把1+3+32+…+334+335变形 （3﹣1）（1+3+32+…+334+335） 为设x＝3，n＝35，根据(2)题得到的规律，可以使问题得到解决．