【题目】如图，在等腰直角中，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，过点作于点以为邻边作与等腰直角的重叠部分面积为(平方单位)，，点的运动时间为秒．

（1）直接写出点落在边上时的值．

（2）求与的函数关系式

（3）直接写出点分别落在三边的垂直平分线上时的值

【答案】（1）；（2）；（3）或2或4

【解析】

（1）画出图形，根据题干条件，得出△AFP和△BPG是等腰直角三角形，表示出AP，PB，根据FQ=BG解出t值；

（2）分当点G在BC边上以及BC左侧时，当点G在BC右侧时，两种情况分别求出S和t的关系即可；

（3）分点G在AB、BC、AC的中垂线上求出t值即可.

解：（1）当点G落在BC边上时，如图，

∵AB=BC=8，∠B=90°，PF⊥AF，

∴在□APGF中，∠AFP=∠FPG=90°，

∴∠A=∠FPA=∠GPB=∠PGB=45°，

即△AFP和△BPG是等腰直角三角形，

∴AP=FG=2t，PB=BG=8-2t，

AP边上的高FQ=BG=2t，

∴（8-2t）×2=2t，

解得：t=；

（2）当点G在BC边上以及BC左侧时，0≤t≤，

S的值为□APGF的面积，

△APF为等腰直角三角形，

∴△APF中AP边上的高为t，

则S=2t2，

当点G在BC右侧时，＜t≤4，

由题意可得：∠G=45°，∠NMG=90°，FQ=t，

∴△MNG是等腰直角三角形，

∴MN=MG=MB-NB=MB-PB=t-（8-2t）=3t-8，

S=S□APGF -S△MNG=2t×t-（3t-8）2=，

故S和t的函数关系式为：；

（3）当点G在AB边的中垂线QH上时，

AH=4，

由题意可得：GH=PH=4-2t，

FM=AP=t，

∴4-2t=t，

解得t=；

当点G在AC边的中垂线上时，

可知∠ABQ=45°，

∴△PBG为等腰直角三角形，

∴PB=PG=AF=AP，

∴AP=4，

∴t=2；

当点G在BC边中垂线上时，

PQ=FM=AP，

则此时点P与点B重合，

∴t=4.

综上所述：点分别落在三边的垂直平分线上时，t的值为或2或4.

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