Question

【题目】如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于 ，求二次项系数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在函数y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，

∴B（0，1），

令y=0，得x=1，

∴A（1，0），

则OA=OB=1，AB= ，

∴△AOB周长为1+1+ =2+

（2）

解：∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠PBO=∠QAO=135°，

设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，

∴△PBO∽△OAQ，

∴ ，

∴PB= = ，

过点P作PH⊥OB于H点，

则△PHB为等腰直角三角形，

∵PB= ，

∴PH=HB= ，

∴P（﹣ ，1+ ）．

（3）

解：由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，

∴PB=AQ，

∴ =t，

∵t＞0，

∴t=1，

同理可得Q（1+ ，﹣ ），

∴m= = ﹣1，

∵抛物线经过点A，

∴a+b+c=0，

又∵6a+3b+2c=0，

∴b=﹣4a，c=3a，

对称轴x=2，取值范围 ﹣1≤x +1，

①若a＞0，则开口向上，

由题意x= ﹣1时取得最大值 =2 +2，

即（ ﹣1）2a+（ ﹣1）b+c=2 +2，

解得a= ．

②若a＜0，则开口向下，

由题意x=2时取得最大值2 +2，

即4a+2b+c=2 +2，

解得a=﹣2 ﹣2．

综上所述所求a的值为 或﹣2 ﹣2

【解析】（1）先求出A、B坐标，再求出OB、OA、AB即可解决问题．（2）由△PBO∽△OAQ，得 = ，求出PB，再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标．（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可．本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、函数最值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考压轴题．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．