Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．

（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是；
②直线DE、BG之间的位置关系是 ．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）DE=BG；DE⊥BG
（2）

解：（1）中的结论仍然成立，理由是：

①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，

∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，

在△EAD和△GAB中，

，

∴△EAD≌△GAB（SAS），

∴ED=GB；

②ED⊥GB，

理由是：∵△EAD≌△GAB，

∴∠GBA=∠EDA，

∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，

∴∠BMH+∠GBA=90°，

∴∠DHB=180°﹣90°=90°，

∴ED⊥GB；

（3）

解：应用

将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，

过P作PH⊥CD于H，

①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，

在Rt△AED中，AD=4，AE=2，

∴∠ADE=30°，DE= =2 ，

∴DF=DE﹣EF=2 ﹣2，

∵AD⊥CD，PH⊥CD，

∴AD∥PH，

∴∠DPH=∠ADE=30°，

cos30°= = ，

∴PH= （2 ﹣2）=3﹣ ；

②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，

∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，

当P在 的中点时，如图5，此时PH的值最大，

∵AB=AD=4，

由勾股定理得：BD=4 ，

则半径OB=OP=2

∴PH=2+2 ．

综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2 ，最小值是3﹣ ．

【解析】解：（1）发现①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，
理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BDA=90°，
∴∠BAG=∠BAD=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，
∴△AED≌△AGB，
∴DE=BG；②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，
理由是：如图2，延长DE交BG于Q，

由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，
∴∠BEQ+∠ABG=90°，
∴∠BQE=90°，
∴DE⊥BG；
所以答案是：①DE=BG；②DE⊥BG；
【考点精析】关于本题考查的图形的旋转，需要了解每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素才能得出正确答案．