Question

【题目】如图，在中，，.

(1)如图1，点在边上，，，求的面积.

(2)如图2，点在边上，过点作，，连结交于点，过点作，垂足为，连结.求证：.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析．

【解析】

（1）根据勾股定理可得AC，进而可得BC与BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；

（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG=∠EBH，由已知易得BE∥AC，于是∠E=∠EFC，由于，，则根据余角的性质得∠EFC=∠BCG，于是可得∠E=∠BCG，然后根据ASA可证△BCG≌△BEH，可得BG=BH，CG=EH，从而△BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．

解：（1）在△ACD中，∵，，，∴，

∵，∴BC=4，BD=3，∴；

（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则∠CBG+∠CBH=90°，

∵，∴∠EBH+∠CBH=90°，∴∠CBG=∠EBH，

∵，，∴BE∥AC，∴∠E=∠EFC，

∵，，∴∠EFC+∠FCG=90°，∠BCG+∠FCG=90°，

∴∠EFC=∠BCG，∴∠E=∠BCG，

在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），

∴BG=BH，CG=EH，

∴，

∴．