Question

【题目】已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，BD为弦，CE⊥BD于点E，

（1）如图1,求证：CE=DE；

（2）如图2,连接OE,求∠OEB的度数；

（3）如图3,在（2）条件下,延长CE,交直径AB于点F,延长EO,交⊙O于点G,连接BG,CE=2,EF=3,求△EBG的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△EBG的面积为6+3 .

【解析】（1）如图1中，连接CD、OC. 只要证明∠CDE=∠COB=45°即可.

（2）如图2中，连接OD、OC，只要证明△OED≌△OEC，推出∠OED=∠CEO=135°，即可解决问题.

（3）如图3中，过0作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO=90°,连接OC，设EM=x，则BM=DM=2-x，由EF∥OM，得=列出方程即可解决.

解：（1）证明：如图1中，连接CD、OC．

∵点C是AB 中点，∴AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠D=45°，

∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠D=∠DCE=45°，∴CE=DE．

（2）证明：如图2中，连接OD，OC

在△OED和△OEC中，

OC=OD，CE=DE，OE=OE，

∴△OED≌△OEC，

∵∠CED=90°，∴∠OED=∠CEO=135°，∴∠OEB=45°．

（3）解：如图3中，过O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO=90°，连接OC．

∵CE=2，∴DE=2，设EM=x，则BM=DM=2+x，∴BE=2x+2，∵∠OEB=45°，则BM=DM=2+x，∴OM=x，

∵∠OEB=45°，∴∠CEB=∠EMO，∴EF∥OM．

∴ ，即，解得x=2或（舍去），

∴OE=2 ，BM=4，OM=2，BN=3 ，∴OB=2 ∴EG=OE+OG=2 +2 ，

∴S△EBG=EGBN=（2 +2 ）×3 =6+3 ．

“点睛”本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题.