Question

【题目】已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，tan∠ACB=．

（1）当t=1时，求抛物线的表达式；

（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；

（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2；（2）点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）；

（3）t=4﹣．

【解析】试题分析：（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；

（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，根据△AOB∽△CHA，得到，根据tan∠ACB==，得到=，根据OA=t，得到点C的坐标为（t-4，-2t）．

（3）根据点C（t-4，-2t）在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴上，得到t-4=，即b=2t-8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得-t2+bt+2=0，可知t2+（2t-8）t+2=0，即t2-8t+2=0，据此即可求出t的值．

试题解析：

（1）∵t=1，y=kx+2，

∴A（1，0），B（0，2），

把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得 ，

解得 ，

∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．

（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，得∠AHC=∠AOB=90°，

∵AC⊥AB，

∴∠OAB+∠CAH=90°，

又∵∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠OAB=∠ACH，

∴△AOB∽△CHA，

∴，

∵tan∠ACB==，

∴=，

∵OA=t，OB=2，

∴CH=2t，AH=4，

∴点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．

（3）∵点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴上，

∴t﹣4=，即b=2t﹣8，

把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+bt+2=0，

∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，

解得t=4+，

∵点C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，

∴t=4+不符合题意，舍去，

∴t=4﹣．