Question

【题目】等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点O是AB的中点．

（1）如图1，求证：CO＝BO；

（2）如图2，点M在边AC上，点N在边BC延长线上，MN﹣AM＝CN，求∠MON的度数；

（3）如图3，AD∥BC，OD∥AC，AD与OD交于点D，Q是OB的中点，连接CQ、DQ，试判断线段CQ与DQ的关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）45°；（3）QC＝QD，QC⊥QD，理由详见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的三线合一证明；

（2）在线段BC上取点H，使CH＝AM，连接OH，分别证明△AOM≌△COH和△MON≌△HON，根据全等三角形的性质计算即可；

（3）作DG⊥AO于G，证明△COQ≌△QGD，根据全等三角形的性质，垂直的定义证明．

（1）∵∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴CO＝AB＝BO；

（2）在线段BC上取点H，使CH＝AM，连接OH，如图所示

∵∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴∠A＝∠B＝45°，∠ACO＝∠BCO＝45°，

在△AOM和△COH中，

，

∴△AOM≌△COH（SAS）

∴OM＝OH，

∵MN﹣AM＝CN，

∴NM＝NH，

在△MON和△HON中，

，

∴△MON≌△HON（SSS），

∴∠MON＝∠HON，

∴∠MON＝∠AOM+∠CON，

∴∠MON＝∠AOC＝45°；

（3）QC＝QD，QC⊥QD，

理由如下：作DG⊥AO于G，

∵AD∥BC，

∴∠OAD＝∠B＝45°，

∵OD∥AC，

∴∠AOD＝∠OAC＝45°，

∴DA＝DO，又DG⊥AO，

∴DG＝AG＝GO＝OA，

∵Q是OB的中点，

∴OQ＝BQ＝OB，

∴DG＝OQ，GQ＝OC，

在△COQ和△QGD中，

，

∴△COQ≌△QGD（SAS），

∴QC＝QD，∠GQD＝∠OCQ，

∵∠OCQ+∠CQO＝90°，

∴∠GQD+∠CQO＝90°，即∠CQD＝90°，

∴QC⊥QD，

则QC＝QD，QC⊥QD．