Question

【题目】如图，直线y=-x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，对称轴为x=1的抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线与对称轴交于D点，连接CE、CB、BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：BD∥CE；

（3）在直线AB上是否存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）证明见解析；（3）在直线AB上存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似，P（-，）．

【解析】

试题分析：（1）根据自变量与函数值对应关系可得B、A点坐标，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得点C的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据三角形的判断与性质，可得∠BDF=∠CEG，根据平行线的判定，可得答案；

（3）根据相似三角形的判定与性质，可得关于m的方程，解方程可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.

试题解析：（1）当x=0时，y=3，即B点（0，3），当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），

由A、C关于x=1对称，得C（-1，0）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C坐标代入，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）如图1，

作BF⊥DE于F，F点的坐标为（1，3），D（1，4），

BF=1，DF=4-3=1；

当x=1时，y=-1+3=2，即E点坐标为（1，2），G（1，0），

EG=2，CG=2．

，∠BFD=∠CGE=90°，

∴△BFD∽△CGE，

∴∠BDF=∠CEG，

∴BD∥CE；

（3）如图2，

设P点坐标为（m，-m+3），E（1，2），B（0，3），

由勾股定理，得

BE=，

CE=，

PB=，

BD=，

由△BDP∽△ECB，

，即，

解得m=-，-m+3=，

即P（-，），

在直线AB上存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似，P（-，）．