Question

【题目】如图在Rt△ACB中，C为直角顶点，∠ABC=25°，O为斜边中点．将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 ．

Answer 1

【答案】50°或65°或80°
【解析】解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，

∵O为斜边中点，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=25°，
∴θ=2×25°=50°，
当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，

∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=25°，
∴∠CBH=65°，
∴∠OBH=40°，
∴θ=2×40°=80°，
当PB=PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，

∵∠ACB=90°，O为斜边中点，
∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=25°，
∴θ=∠BOG=65°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°，
所以答案是：50°或65°或80°．
【考点精析】本题主要考查了轴对称图形和旋转的性质的相关知识点，需要掌握两个完全一样的图形关于某条直线对折，如果两边能够完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线就对称轴；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．