Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（1）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；

（2）若OA=，CE=1，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】试题分析：（1）连接AE，OE，∠AEB=90°，∠BAC=90°，在Rt△ACE中，D为AC的中点，则DE=AD=CD=AC，得出∠DEA=∠DAE，由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，则∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，即可得出结论；

（2）AB=2AO=2，由△BCA∽△BAE，得出=，求出BE=3，BC=4，由勾股定理得AC==2，则S△ABC=ABAC代入即可得出结果．

（1）证明：连接AE，OE，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠BAC=90°，

∵在Rt△ACE中，D为AC的中点，

∴DE=AD=CD=AC，

∴∠DEA=∠DAE，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，

∴OE⊥DE，

∵OE为半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AO=，

∴AB=2AO=2，

∵∠CAB=∠AEB=90°，∠B=∠B，

∴△BCA∽△BAE，

∴=，即AB2=BEBC=BE（BE+EC），

∴（2）2=BE2+BE，

解得：BE=3或BE=﹣4（不合题意，舍去），

∴BE=3，

∴BC=BE+CE=3+1=4，

∴在Rt△ABC中，AC===2，

∴S△ABC=ABAC=×2×2=2．