Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：

，

解得： ，

则该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+8

（2）

解：如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：

y=kx+d，

将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：

，

解得： ，

故直线BC解析式为：y=2x+8，

直线BC与抛物线对称轴 x=﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．

解方程组 得，

则点Q（﹣1，6）即为所求

（3）

解：如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，

P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）

∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16

若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大

∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC

= BEPE+ OE（PE+OC）

= （x+4）（﹣x2﹣2x+8）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）

=﹣2（x+2）2+24，

当x=﹣2时，S四边形BPCO最大值=24，

∴S△BPC最大=24﹣16=8，

当x=﹣2时，﹣x2﹣2x+8=8，

∴点P的坐标为（﹣2，8）．

【解析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；（3）根据S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16，得出函数最值，进而求出P点坐标即可．