Question

【题目】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF= AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，

∴CE⊥BD，

∵点F为AC的中点，

∴EF= AC

（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，

∴△AEC是等腰直角三角形，

∵点F为AC的中点，

∴EF垂直平分AC，

∴AM=CM，

∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，

∴BC=AM+DM

【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF= AC；（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和直角三角形斜边上的中线，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半才能得出正确答案．