Question

【题目】设抛物线与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．若a、b、c满足，则称该抛物线为“正定抛物线”；若a、b、c满足，则称该抛物线为“负定抛物线”．特别地，若某抛物线既是“正定抛物线”又是“负定抛物线”，则称该抛物线为“对称抛物线”．

（1）“正定抛物线”必经过x轴上的定点______；“负定抛物线”必经过x轴上的定点______．

（2）若抛物线是“对称抛物线”，且△ABC是等边三角形，求此抛物线对应的函数表达式．

（3）若抛物线是“正定抛物线”，设此抛物线交y轴于点D，△BCD的面积为S，求S与b之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】(1)（1，0）,（-1，0）.(2)． (3) 当时,．

当时．．当时,.

【解析】分析：（1）“正定抛物线”a、b、c满足，即当时，过点“负定抛物线”a、b、c满足，即当时，过点

根据“对称抛物线”的定义可知抛物线经过点（1，0）、（-1，0）．根据△ABC是等边三角形，得出或．即可求出此抛物线对应的函数表达式．

（3）抛物线是“正定抛物线”，抛物线过点代入得．

即．表示出，．分三种情况写出S即可.

详解：（1）“正定抛物线”a、b、c满足，即当时，过点“负定抛物线”a、b、c满足，即当时，过点

故答案为：（1，0），（-1，0）.

（2）∵抛物线是“对称抛物线”，

∴抛物线经过点（1，0）、（-1，0）．

∴ 解得

∵△ABC是等边三角形，

∴．

∴或．

当时，．

此抛物线对应的函数表达式为．

当时，．

此抛物线对应的函数表达式为．

（3）∵抛物线是“正定抛物线”，

∴．

∴．

∴．

∵点C为抛物线的顶点，点D为抛物线和y轴的交点，

∴，．

当时．

．

当时．

．

当时．

.