Question

【题目】如图，反比例函数y= （x＞0）与一次函数y=kx+6 交于点C（2，4 ），一次函数图象与两坐标轴分别交于点A和点B，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点O出发，沿OA以相同的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t≤6），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与AB交于点M，与OA交于点N，连接MN、MQ．

（1）求m与k的值；
（2）当t为何值时，点Q与点N重合；
（3）若△MNQ的面积为S，试求S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将C（2，4 ）代入y= 中得，m=8

将（2，3 ）代入y=kx+6 中得，2k+6 =4

∴k=﹣

（2）

解：由（1）知，k=﹣ ，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+6 ，

∴A（6，0），B（0，6 ），

∴AB=12

∵AM是直径

∴∠ANM=90°，

∴∠ANM=∠AOB

又∵∠MAN=∠BAO，

∴△MAN∽△BAO，

∴

∵OQ=AP=t，AM=2AP=2t，OA=6，OB=6 ，AB=12

∴

∴AN=t，MN= t

∴ON=OA﹣AN=6﹣t

∵点Q与点N重合

∴ON=OQ

即6﹣t=t

∴t=3

（3）

解：①当0＜t≤3时，QN=OA﹣OQ﹣AN=6﹣2t

∴S= QNMN= （6﹣2t） t=﹣ t2+3 t

②当3＜t≤6时，QN=OQ+NA﹣OA=t+t﹣6=2t﹣6

∴S= QNMN= （2t﹣6） t= t2﹣3 t，

即：S=

【解析】（1）利用待定系数法直接求出m和k；（2）先求出AB，进而判断出△MAN∽△BAO，利用比例式得出AN和MN，即可得出ON，利用ON=OQ建立方程求解即可；（3）分两种情况利用三角形的面积公式即可得出结论．
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式和相似三角形的判定是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．