Question

【题目】已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）用尺规画圆O，使圆O过A、D两点，且圆心O在边AC上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BC与圆O相切；
（3）设圆O交AB于点E，若AE=2，CD=2BD．求线段BE的长和弧DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：⊙O即为所求：

（2）解：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠OAD，

∴∠BAD=∠ODA，

∴OD∥AB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

∵OD是半径，

∴BC与⊙O相切；

（3）连接OE，过点O作OF⊥AB于点F，

∵AE=2，

∴由垂径定理定理可知：AF=1，

∵CD=2BD，

∴ = ， = ，

∵OF∥BC，

∴△AOF∽△ACB，

∴ ，

∵OF=BD，

∴ = ，

∴ = ，

∴AB=3，

∴BE=AB﹣AE=1，

∵OD∥AB，

∴△OCD∽△ACB，

∴ = ，

∴OD=2，

∴OA=OD=AE，

∴△AOE是等边三角形，

∴∠AEO=60°

∵OD∥AB，

∴∠EOD=60°，

∴ 的长度是： = ．

【解析】（1）要使⊙O过A、D两点，即OA=OD，所以点O在线段AD的垂直平分线上，且圆心O在AC边上，所以作出AD的垂直平分线与AC的交点即为点O；（2）要证明BC与⊙O相切，连接OD后，只需要证明∠ODC=90°即可；（3）由于AE是⊙O的弦，可过点O作OF⊥AE于点F，然后利用垂径定理可知AF=1，利用△AOF∽△ACB求出AB的值，所以BE=AB﹣AE．再利用△OCD∽△ACB，求出半径OD，可知△AOE是等边三角形，所以 所对的圆心角为60°，利用弧长公式即可求出 的长度．