Question

【题目】(2016广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.6

【解析】

试题分析：(1)、由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；(2)、首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

试题解析：(1)、∵AE=AB， ∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC， ∵∠BAC=2∠CBE， ∴∠CBE=∠BAC，

∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°， 即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；

(2)、连接BD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ADB=∠ABC，

∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴=， ∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6， ∴AC==10，

∴， 解得：AD=6.4， ∵AE=AB=8， ∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．