Question

【题目】如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°

（1）求证：AG=FG；

（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；

（2）过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出FD的长．

试题解析：（1）过C点作CH⊥BF于H点，

∵∠CFB=45°

∴CH=HF，

∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE，

∵AG⊥BF，CH⊥BF，

∴∠AGB=∠BHC=90°，

在△AGB和△BHC中，

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，

∴△AGB≌△BHC，

∴AG=BH，BG=CH，

∵BH=BG+GH，

∴BH=HF+GH=FG，

∴AG=FG；

（2）∵CH⊥GF，

∴CH∥GM，

∵C为FM的中点，

∴CH=GM，

∴BG=GM，

∵BM=10，

∴BG=2，GM=4，

∴AG=4，AB=10，

∴HF=2，

∴CF=2×=2，

∴CM=2，

过B点作BK⊥CM于K，

∵CK=CM=CF=，

∴BK=3，

过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=3，

DQ=CK=，

∴QF=3-2=，

∴DF==2．