Question

【题目】小华思考解决如下问题：

原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．

（1）小华进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E、F分别在边BC、CD上，如图2．此时她证明了AE＝AF，请你证明；

（2）由以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明；

（3）如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，求四边形APCQ的周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据四边形ABCD是菱形，首先证明∠B＝∠D，AB＝AD，再结合题意证明，进而证明△AEB≌△AFD，即可证明AE＝AF.

（2）根据（1）的证明，再证明△AEP≌△AFQ（ASA），进而证明AP＝AQ.

（3）根据题意连接AC，则可证明△ABC为等边三角形，再计算AE的长度，则可计算长APCQ的周长的最小值.

（1）证明：如图2，∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，

∵∠EAF＝∠B，

∴∠EAF+∠C＝180°，

∴∠AEC+∠AFC＝180°，

∵AE⊥BC，

∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF；

（2）证明：如图3，由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

，

∴△AEP≌△AFQ（ASA），

∴AP＝AQ；

（3）解：如图4，连接AC，

∵∠ABC＝60°，BA＝BC＝4，

∴△ABC为等边三角形，

∵AE⊥BC，

∴BE＝EC＝2，

同理，CF＝FD＝2，

∴AE＝ ＝2 ，

∴四边形APCQ的周长＝AP+PC+CQ+AQ＝2AP+CP+CF+FQ＝2AP+2CF，

∵CF是定值，当AP最小时，四边形APCQ的周长最小，

∴当AP＝AE时，四边形APCQ的周长最小，此时四边形APCQ的周长的最小值＝2×2+4＝4+4．